第67章 这不是去学校的路（求追读） (第1/2页)

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所有的可构造数构成了一个域k∈r，并且如果a0是可构造数，那么根号a也是可构造的。

由于o，a是事先给定的两个点，所以1是可构造的，因此所有有理数q都是可构造的，所以k是q的一个域扩张。

因此有可构造数的判定方法如下：

r∈r是可构造的，当且仅当存在一个域扩张的tower，q=k0∈k1∈……∈kn，使得r∈kn，并且相邻的域扩张指数[ki+1，ki]≤2，因此若r∈k，则r是q的代数数，并且[q[r]:q]=2^m。

写完这些，陈辉心中思路已经彻底明晰，然后看向了第一个需要证明的题目。

1.【因为π/3的三等分角可以作出来，当且仅当cos(π/9)=α是可构造实数，考虑把π/9实现为某个三角形的内角，它的三条边长都是可构造的.

根据三倍角公式cos3θ=4cos^3θ-3，所以有4α^3-3α=1/2，

因此α满足多项式方程f(x)=8x^3-6x-1=0。

根据爱森斯坦判别法可知，f(x)是q[x]中不可约多项式，因此[q[α]:q]=32.

因此不是可构造实数，所以无法通过尺规做出π/3的三等分角。】

一气呵成！

只用了十几分钟，陈辉便证明了第一个问题。

随后他再看向第二道题。

有了前面的思考，后续几个问题不过是照猫画虎，虽然第四个问题需要进行一些更复杂的处理，但也并没有太大难度。

张安国呆呆的站在旁边，已经不知道该说些什么好了。

陈辉竟然真的只靠一本抽象代数的教材，就能写出完整的证明，这到底是什么妖孽？

这家伙在代数和数论上的天赋，已经只能从数学课本上去找人来对比了！

他现在对陈辉越来越自信起来，他相信，即便陈辉拿不到金奖，银奖和铜奖还是很有机会的。

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